確率質量関数と累積分布関数の違いを中学生にも分かる図解で徹底解説

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確率質量関数と累積分布関数の違いをやさしく理解する

確率質量関数と累積分布関数は、データの「起こりやすさ」を数値で表すための基本ツールです。確率質量関数は離散的な確率変数 X がとり得る値ごとに、それが起こる確率 P(X = x) を割り当てます。例えばサイコロを1回振った場合、各目の出る確率は通常 1/6 です。

この関数は P(X = x) の形で現れ、すべての可能な x に対して値を与えるため、⅀_{x} P(X = x) = 1 という性質を持ちます。

一方の累積分布関数は「この値以下になる確率」を表します。記号で書くと F(x) = P(X ≤ x) です。
CDF は連続分布でも離離散分布でも使われ、x の値を変えると F(x) は 0 から 1 の間を滑らかにまたは階段状に上がっていきます。これらは似ているようで、使い道が少し違います。

セクション1: 基本の意味と特徴

まず 確率質量関数 の意味をしっかり押さえましょう。PMF は離散的な取り得る値 x に対して P(X = x) を割り当てる関数です。取り得る x が 1, 2, 3, 4 などの整数だとすると、それぞれの確率は数値として現れます。最も大切な点は、この値の総和が 1 になることです。したがって、その確率の分布は“どの x が起こりやすいか”を教えてくれ、同じ現象が複数回観測されても時間とともに形が固まっていきます。

例を挙げると、コインを繰り返し投げて出る「表の回数」 X の場合、X が取る値は 0 から何回かの整数になります。P(X = 0) が高いか低いかはコインの性質や観測の回数で決まり、P(X = k) を並べると離散的な山ができあがります。これが PMF の基本像です。

セクション2: 累積分布関数の使い方と理解のコツ

次に 累積分布関数 の側面です。CDF は F(x) = P(X ≤ x) という形で、ある閾値 x 以下になる確率を一気に教えてくれます。これは「この値以下になる出来事がどのくらい起こりそうか」を一言で表した、理解の土台となる道具です。

離散的な場合には F(x) は x が 1 ずつ増えるたびに一定の幅だけ跳ぶ階段のように上がるのが特徴で、x が増えるほどに 0 から 1 の間を滑らかに、または階段状に埋めていきます。現場では、特定の点をしきい値として、イベントが起こる確率を見積もる際に活用します。 F(x) を覚えておくと、P(X ≤ x) の意味が別の質問にも直結するので、他の確率分布の理解にも役立ちます。

e>性質PMFCDF定義P(X = x) を値ごとに割り当てるF(x) = P(X ≤ x) を割り当てる適用対象離散的な x任意の実数 x総和/極限⅀ P(X = x) = 1lim x→∞ F(x) = 1, F(−∞) = 0グラフの形階段状になる離散部は階段、連続部は滑らかになることも

ピックアップ解説

確率質量関数について深掘り話。友だちと実験の話をしていると、PMF は X が取り得る離散的な値ごとに確率を割り当てる地図のようだと気づきます。P(X = x) はそれぞれの値の高さを示し、全てを足すと必ず 1 になる。この“値ごとの確率”の山を眺めると、どの結果が起こりやすいかが直感的に分かる。例えばコインの表の回数を数えるとき、X が取り得る値ごとの確率を並べると山が生まれ、回数を増やせばこの山は安定していきます。一方、CDF はこの山から一歩進んで、ある値以下になる確率を一つの線で示してくれます。閾値を設定してイベントが起こる確率を評価するときに強力で、私たちは友だちと「どの値までなら安全か」「どの値を超える確率が高いか」を雑談風に話し合います。これが数学とゲームの楽しい結びつきです。

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