多変量正規分布と正規分布の違いを徹底解説：データの広がりと関係性を見抜くコツ

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はじめに：多変量正規分布と正規分布の基本的な違いを知ろう

この話のポイントは、データが1つではなく複数の変数を同時に扱うときにどう広がるか、どう関係があるかを考える点です。普段、私たちは「正規分布」という言葉をよく耳にします。例えば身長のようなデータは、平均値の周りに鐘の形に広がる特徴があります。このとき使われるのが正規分布です。ところが、身長と体重のように、2つ以上の変数が同時に関係している場合には、多変量正規分布という考え方が役に立ちます。

ここでは、まず両者の違いをシンプルな言葉で整理し、次に実際のデータでどう使うかをイメージできるようにします。

簡単に言えば、正規分布は1つの変数の「ばらつき方」を表すのに対し、多変量正規分布は複数の変数が「どう一緒に動くか」を表す道具です。例えば、身長と体重の間には一定の関係があり、体重が多い人は身長の平均付近だけでなく、どの程度広がるかも関係します。こうした関係性を数理的に表すのが、多変量正規分布の役割です。

この記事を読んで、違いを明確にしておくと、データを扱うときにどの分布を使えばよいか判断できるようになります。

なお、難しい式には触れず、感覚的なイメージと具体的な例を中心に進めます。

中身の違い：数学の中身をやさしく掘り下げる実例

ここでは、まず「変数の数」と「共分散」という概念がどう関係するかをイメージで伝えます。正規分布は1次元で、データ点が平均値の周りに鐘の形で広がる様子を描きます。

一方、多変量正規分布は、平均ベクトルと共分散行列という2つの要素で決まります。平均ベクトルは各変数の中心的位置を指し、共分散行列は変数同士の関係性を表します。共分散が大きいほど、2つの変数は一緒に大きくなる傾向が強くなり、負の共分散なら片方が大きいともう片方は小さくなる傾向が出ます。データが複数あると、地図のように“楕円形の広がり”が現れます。

この広がり方は天気予報や金融リスク、品質管理など、さまざまな場面で役立ちます。

多変量正規分布の最大の特徴は、データの分布が「平均ベクトルと共分散行列で完全に決まる」という点です。これを理解できれば、データがどの方向に広がりやすいのか、どの変数がどの程度連動しているのかを直感的に掴むことができます。

次に、表を使って「正規分布」と「多変量正規分布」の違いを整理します。

特徴	正規分布	多変量正規分布
扱う変数	1変数	複数変数
中心の指定	平均 μ	平均ベクトル μ
広がりの決定	分散 σ^2	共分散行列 Σ
形	鐘形	楕円体の広がり
確率密度の式	f(x) = exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2)) / √(2πσ^2)	多変量密度 f(x) = (2π)^{-k/2} |Σ|^{-1/2} exp(-1/2 (x-μ)^T Σ^{-1} (x-μ))

ピックアップ解説

今日は雑談風に多変量正規分布を深掘りします。友だちと数学カフェで話している設定で、式は難しく置いといて、まず感覚をつかむことから始めます。天気の話を思い浮かべてください。温度と湿度は一緒に変わることが多く、片方が高いともう片方も高いことが多い。そんな“一緒に動く”関係を、平均ベクトルと共分散行列という道具で表すのが多変量正規分布です。これを知ると、データがどの方向に広がるか、どの変数がどれだけ連動しているかが見えるようになります。

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