ベルヌーイ分布と正規分布の違いを徹底的にわかりやすく解説する統計入門

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ベルヌーイ分布と正規分布の違いをわかりやすく解説

ここではベルヌーイ分布と正規分布の基本を、身近な例を使いながら丁寧に比べていきます。まずは「何を表す分布なのか」が違います。ベルヌーイ分布は「ある試行が2択の結果だけをとる場合の確率」を扱います。成功か失敗かの二択、つまり 0 か 1 の値をとる離散的な確率分布です。これに対して正規分布は「連続的な値の集合」で現れるデータの分布を表します。身長やテストの点数のように、ある範囲内の任意の値を取り得るデータに適用され、山形の鐘の形をしているのが特徴です。

この二つは出てくる場面も考え方も異なるので、混同しやすいですが、実は統計の世界でとても基本的な二つの柱です。ここからは、それぞれの分布の性質と、違いを分かりやすく示す具体的な例と共に見ていきます。

理解を深めるコツは「どんな現象を確率で表したいのか」をはっきりさせることです。それが決まれば適切な分布を選ぶ手がかりになります。

ベルヌーイ分布とは何か

ベルヌーイ分布はごく一つの試行をモデル化します。試行は二択で、成功を 1、失敗を 0 とします。確率 p は「成功する確率」を意味します。例えばコインの表が出る確率を p とすると、コインを1回投げた結果が 1 になる確率は p、0 になる確率は 1-p です。この分布の平均は p、分散は p(1-p) となり、データは {0,1} の2値に限られます。現実の例としては、製品が欠陥品であるかどうか、アプリのある機能が正しく動くかどうか、などの“はい・いいえ”を数えるときに使います。

このような二択の現象では「試行回数を増やすとどうなるか」を考えることがよくあります。例えばサイコロを2回振るのではなく、10回振って成功の回数を数えると、成功の合計がどの程度の割合になるかを推測するのにベルヌーイ分布を組み合わせて扱うことが多いです。

ベルヌーイ分布はとてもシンプルですが、統計の土台となる大切な考え方を含んでいます。なお、ここでの p を信号の強さや確からしさのような“度量”として使えることが、以降の推測や仮説検定の基礎になります。

正規分布とは何か

正規分布は連続したデータの分布を最もよく表します。シンメトリックで釣鐘形の曲線を描き、データの多くが平均値の周りに集まる性質を持ちます。正規分布は平均 μ と標準偏差 σ という二つのパラメータで決まります。平均 μ は山の位置、標準偏差 σ は山の幅を決めます。正規分布の公式な式は f(x)=1/(σ√(2π)) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2) ですが、ここでは式の形よりも「中心に集まりやすく、端には急に減る」という性質を覚えておけば十分です。正規分布は多くの現象に現れるとされ、例えば測定誤差のような独立した小さな影響がたくさん集まるとき、データは自然と正規分布に近づきます。これを中心極限定理といいます。

正規分布の特徴として「任意の区間の確率を積分で求められる」「標準正規分布に変換すると計算が楽になる」「サンプル平均が分布する形が正規になる」という性質が挙げられます。これらは推定や検定の基礎となる大切な考え方です。

違いを理解するための具体的な比較

以下のポイントを押さえると、見分けが簡単になります。まず、値の種類が違います。ベルヌーイ分布は {0,1} のみを取り得る離散分布、一方の正規分布は連続的な実数値を取り得る連続分布です。次に、パラメータが異なります。ベルヌーイは成功確率 p のみ、正規分布は平均 μ と標準偏差 σ の二つのパラメータを持ちます。さらに< strong>形状の違いも大きいです。ベルヌーイは二値のグラフで山が一つに見えることが多いのに対し、正規分布は鐘形の滑らかな曲線です。適用される場面も異なります。ベルヌーイは実験の「1回の試行」を扱い、正規分布は「多数のデータ点の集合がどのように分布するか」を表すのに適しています。

これらを整理するために、次の表を参考にすると理解が深まります。

観点	ベルヌーイ分布	正規分布
値の種類	離散的な {0,1}
パラメータ	p のみ
形状	二値の分布
主な用途	単一試行の成功/失敗
連続性	いいえ
代表的な場面	欠陥品の検出、機能の動作有無
平均と分散	平均 p, 分散 p(1-p)
正規化の考え方	直接の正規化はしづらい
計算のコツ	サンプル比率を推定する
正規分布との関係	中心極限定理の中で混在することがある

最後に、現実のデータ分析で迷ったときは「データがとりうる値の連続性」と「どのような情報をほしいのか」を軸に分布を選ぶのがコツです。正規分布はデータの背後にある連続的変動を捉えやすく、ベルヌーイ分布は0と1の二択で起こりうる結果を素早く扱える点が強みです。結局のところ、どちらを使うかは研究の目的とデータの性質次第です。

ピックアップ解説

ある日友だちとデータの山を眺めながら、正規分布の話を雑談形式で深掘りしました。正規分布って、実はみんなが日常で無意識に信じている“平均の周りに集まる”という性質の大きな例です。彼は私にこう言いました。『測定誤差がたくさん集まると、データは自然と正規分布に近づくんだよ』という言葉。私はその意味を、ハンモックの揺れと比較して説明しました。小さな振動を繰り返すと、合成量は滑らかに平均の周りで揺れ、端にいくほど起きにくくなる。だからサンプルの平均値を取れば、どんなデータでも正規分布に近いと考えることができる。もちろん現実には完璧にはいかないけれど、この“中心極限定理”の話はとても不思議で、でもとても納得感がある。結局、日常の中にも正規分布のイメージはたくさん転がっていて、勉強だけでなく人生の判断にも役立つ宝物だと思います。

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