幾何分布と指数分布の違いを日常の例で攻略！クリック必至の入門ガイド

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幾何分布と指数分布の違いを徹底解説：日常の疑問を解く確率の入門

日常の出来事で「いつまで待てばいいのか？」という疑問に近い場面は、確率を考えるときの良い練習問題になります。幾何分布と指数分布は、待ち時間や回数の分布を表す代表的な確率分布です。幾何分布は“何回目の試行で初めて成功するか”を離散的に数えます。指数分布は“待ち時間そのもの”を連続的に測ります。これらは似ているようで、使われる場面や扱い方が異なります。中学生にも分かるように、実生活の例を混ぜながら、式と結論の両方を見ていきましょう。待ち時間を測る場面では、単純に時間を延ばせば確率はどう変わるのかを知ることが重要です。結果として、待つ回数と待つ時間の関係性が見えてきます。

まずは定義をしっかり押さえ、次に例題で練習し、最後に違いの要点を整理します。

この説明を読んで、確率の世界が身近な出来事とどう結びつくのかを感じ取ってください。

基本の定義と直感的な違い

幾何分布は“ある信号が初めて現れるまでに必要な試行の回数”を数える離散的な分布です。たとえば、コインを投げて表が出る確率を p とすると、初めて表が出るまでの投げ回数 X は X=1,2,3,... という自然数の取りうる値をとります。P(X=k) = (1-p)^{k-1} p です。ここで大事なのは「回数が整数であること」と「1回目から数えること」です。待ち時間ではなく、回数そのものを数える点が特徴です。

一方、指数分布は待ち時間を連続的に扱います。例えば、車が交通渋滞なしで走ってくるまでの時間を λ という流れの速さでモデルするとします。待ち時間 T は 0 以上の実数を取り、P(T≤t) = 1−e^{−λt}、P(T>t) = e^{−λt} となります。ここで重要なのは「時間を連続的に測る」点と「memoryless（記憶lessness）」という特性です。過去の待ち時間が現在の待ち時間に影響を与えない、という性質は両分布には共通の特徴ですが、表現の仕方が大きく異なります。

この違いをつかむと、どんな場面で使うべきかが見えてきます。

離散 vs 連続の違いと使われ方

幾何分布は離散の世界で強力に働きます。公式は P(X=k) = (1-p)^{k-1} p のように「試行回数」という整数ベースの値を扱います。平均は 1/p、分散は (1−p)/p^2 です。つまり p が大きいほど待ち時間は短く、待つ回数のばらつきは小さくなります。生活の中で「何回目で初めて起こるか」を知りたいときに使われ、例としてはスポーツの成功までに必要なショットの回数、ボードゲームの勝利条件、アプリの初回通知までの回数などがあります。

一方、指数分布は連続の世界で待ち時間を扱います。パラメータ λ（レート）によって、待ち時間の平均は 1/λ、分散は 1/λ^2 となります。現実の待ち時間は秒単位で計測されることが多く、T が実数の値をとることが自然です。指数分布は「到着過程」がポアソン過程であるときの標準的モデルとして使われ、信号処理、待ち行列理論、確率論の基礎にも深く関わっています。要するに、離散的な「何回目か」を問うのが幾何分布、連続的な「どのくらい待つか」を問うのが指数分布、という使い分けが基本です。

もう一つ覚えておきたい点として、どちらにも「memoryless」性が現れます。ただし形式が異なるため、具体的な数式の扱い方には違いが生まれます。これを理解すると、次に来る問題でどの公式を使えばよいかがすぐ分かります。

実際の計算の例と表現方法

ここでは簡単な計算例を見せます。まず幾何分布。成功確率 p = 0.2 とします。P(X=3) は (1−p)^{3−1} p = 0.8^2 × 0.2 = 0.128 です。意味は「初めての成功が3回目に起こる確率は約12.8%」ということ。P(X≤3) は 1 − (1−p)^3 = 1 − 0.8^3 = 0.488 です。これを見れば、3回以内に初めての成功が起こる確率が約48.8%になることが分かります。次に指数分布。λ = 0.5 の場合、待ち時間 T の分布は P(T≤t) = 1 − e^{−0.5 t} です。例えば t=2 秒なら P(T≤2) = 1 − e^{−1} ≈ 0.632 です。待ち時間が 2 秒以下で起こる確率が約63.2%という意味になります。実務ではこのような計算を手計算よりも、計算機や表を用いて素早く行います。以下の表は両分布の代表的な値を整理したもの。

表を見れば、パラメータが変わったときに平均や分散がどう変わるかが一目で分かります。

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分布	パラメータ	平均	分散
幾何分布	p	1/p	(1−p)/p^2
指数分布	λ	1/λ	1/λ^2

まとめと覚えておきたいポイント

ポイント1: 役割が違う - 幾何分布は回数を、指数分布は待ち時間を扱う。

<strong>ポイント2: 形が異なる - 幾何分布は離散、指数分布は連続。

ポイント3: 公式と意味を結ぶ - P(X=k) の式と P(T≤t) の式は、いずれも「あるイベントが起こるまでの待ち時間・回数の分布」を示すが、変数の取り方が違う。

これらを押さえておけば、初等統計やデータ分析での応用が楽になります。

ピックアップ解説

友だちとおしゃべりしているつもりで話すと、幾何分布は“初めて成功するまでに何回挑戦するか”を数えるイメージ、指数分布は“待ち時間そのもの”を測るイメージになります。例えば「ゲームのガチャは何回目で星5が出るか」を考えるときは幾何分布、駅までの待ち時間が何分かを推定する場合は指数分布を使います。両者は“いつ”起こるかという時間感覚の違いを教えてくれるので、練習問題を解くより先に、友だちと日常の話題に置き換えて感覚をつかむと理解が深まります。

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