分布関数と累積分布関数の違いを中学生にもわかる言葉で徹底解説！

---

はじめに: 分布関数と累積分布関数の違いを理解する

統計やデータの話をするとき、よく耳にするのが「分布関数」と「累積分布関数」という言葉です。これらは似ているようで、使われる場面や意味が微妙に違います。まずは基本を押さえましょう。分布関数は、あるランダムな変数Xがとりうる値と、それが現れる確率の背後にある"食べ物のことば"のような役割をします。対して累積分布関数は、特定の値以下になる確率を積み上げていく"積み重ねのイメージ"です。実生活では、テストの点数がある範囲に入る確率、天気の温度がある区間に入る確率など、いろいろな場面で使われます。これから、それぞれの定義、性質、実例を丁寧に見ていきましょう。分布関数と累積分布関数は、混乱しやすいけれど、整理すればとても強力な道具になります。

分布関数とは何か

分布関数という言葉は、統計の中で「ある変数Xの値がどれくらいの範囲に現れるか」を数式で表すときに使われます。最も基本的な形は F(x) = P(X ≤ x) です。ここが肝心。F(x) は x の値に応じて変化します。離散分布の場合は階段状に、連続分布の場合は滑らかな曲線のように、右肩上がりで 0 から 1 へと変化します。重要な性質として、F(x) は右連続で、lim_{x→−∞} F(x) = 0、lim_{x→+∞} F(x) = 1 という境界を持ちます。これを覚えると、X がどんな分布をしていても F(x) がどの位置でどのように動くかを直感的に掴みやすくなります。さらに、F は PDF（確率密度関数）や PMF（確率質量関数）と強い関係をもっています。具体的には、連続分布なら F の微分が f(x)＝dF/dx（PDF）であり、離散分布なら階段の段差の高さが PMF の値を決める、という風に、分布の形を「密度」と「累積」という二つの視点で見ることができます。ここで覚えておきたいのは、分布関数は「確率を入れる箱」のように機能し、X がどんな値をとるかに応じて、その箱の中身がどう変わるかを示しているという点です。

累積分布関数とは何か

累積分布関数は、上の説明で出てきた F(x) の別名であり、厳密には F(x) = P(X ≤ x) のことを指します。意味としては「x 以下の値になる確率をすべて足し合わせた結果」を表す、名前のとおりの“累積”の感覚です。F の性質として、右連続で、x が増えると F(x) は決して減らない、つまり単調非減少です。0 から 1 の間を動き、x が極端に小さいと 0、極端に大きいと 1 に近づきます。離散分布の例では x の値の特定の点で階段状に jump が起こり、連続分布では滑らかな曲線として連続的に変化します。こうした違いを知ると、データのばらつきや傾向を読み解くときに「どこで確率が集まっているか」が見えやすくなります。累積分布関数は、未来の予測をする時の“入口”として働くことが多く、これを使って「ある点以下の確率」を質問する際の基本ツールになります。

両者の違いを整理するポイント

結論を先に言うと、分布関数と累積分布関数は本質的には同じFを指すことが多いですが、呼び分けの仕方や使われ方に微妙な違いがあります。分布関数という言い方は「その変数の分布全体を表す関数」を強調する時に使い、累積分布関数は「特定の値以下になる確率を積み上げていく」という性質の説明に焦点を当てます。実務で混同しがちな点として、連続分布のときは PDF f(x) と F(x) の関係が重要であり、離散分布のときは P(X = k) という質量と F の階段の関係を理解することが必要です。別の観点として、統計の授業で最初に出てくるのは「F(x) = P(X ≤ x)」という形そのもので、これが分布の基本定義です。要点は「Fは確率の箱」であり、x を変えるとその箱の中に入る確率の総和が変わる、という感覚をつかむこと。最後に、実際のデータを用いる時には、F を用いて分位点を求めたり、分布に関する仮説検定の基礎を作ったりします。

日常の例と表解説

身近な例でイメージを固めましょう。例えば、サイコロを振って出る目の分布関数 F(x) は x が1,2,...,6 のときに階段状に変化します。x=3までの確率は F(3)=P(X ≤ 3)=1/2くらいの感覚ですが、正確には 1/6×3 で 1/2 です。こうした「x 以下の値の総和」が F です。連続分布の例としては、0 から 1 の範囲に均一に広がる分布を想像します。F(x) は 0 for x≤0、F(x)=x for 0≤x≤1、F(x)=1 for x≥1 のように滑らかに上がります。下に表を置いて、離散と連続の F の違いを視覚的に比べてみましょう。

e>分布の種類F(x) の特徴典型的な例離散分布階段状、x の値ごとに跳ぶサイコロの目連続分布滑らかな曲線、x の値の連続性に対応一様分布 U(0,1)共通点F(x) は 0 から 1 へ増え、右連続どの分布にも共通の性質

この表を見れば、分布関数と累積分布関数の“見た目の違い”がつかめます。点と点の間を結ぶときのカーブの滑らかさが、連続分布か離散分布かを教えてくれるのです。最後に、分布のイメージをつかんだうえで、データをどのように扱えばよいかを実践的に考えると、確率をただ計算するだけでなく、データの背後にある性質を読み解く力が身につきます。

ピックアップ解説

分布関数って、データの地図みたいなものだよ。X がどの値をとるかを決める確率の箱があって、x の値を動かすと箱の中身がどう変わるかを教えてくれる。CDF で『x 以下になる確率を積み上げる』っていう感覚がつかめれば、データのばらつきや、外れ値の存在、そして仮説検定の基本が一気に見えてくるんだ。日常の例で考えると、テストの点数が80点以下になる確率って、F(80) を見るだけで分かる。難しく感じることもあるけれど、イメージをつかめばうまく使える強力な道具になるよ。

---