ポアソン分布と対数正規分布の違いを徹底解説：場面ごとの使い分けがわかる

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はじめに：違いを学ぶ意味とイメージ

私たちは日常の中でたくさんのデータを見つけますが、そのデータをどうモデルに落とし込むかで答えが変わります。ここで登場する ポアソン分布 と 対数正規分布 は、それぞれ別の性質を持つ「数の性質」を表す道具です。まずはイメージから始めましょう。

ポアソン分布は「一定の時間や場所で起こる出来事の回数」を数えるときに使います。例えば1時間に届くメールの数、ある交差点を通る車の本数、病院に入院する患者数など、数えられる回数が対象です。

対数正規分布は「掛け算の影響が積み重なってできた量」を扱うときに向いています。たとえば人の収入分布や製品のサイズ、会社の売上の大きさなど、0 より大きい値をとり、データの右側に長い尾を作る性質があります。

この二つの分布は、どんな現象に適しているかを見極めるときの“直感の地図”になります。正しい地図を持つと、データの読み方や推定の仕方がグンと分かりやすくなるのです。本文では、それぞれの分布の特徴と、現場での使い分けのコツを丁寧に解説します。

まずは、それぞれの分布の基本的な性質を押さえ、次に違いと使い分けのポイントを具体的な例と式で確認していきます。

ポアソン分布とは何か

ポアソン分布は、一定の時間や一定の空間の中で起こる“離散的な出来事の回数”を確率的に表すモデルです。式は P(K=k) = e^{-λ} λ^k / k! で書かれ、ここで λ は「平均的な発生数」を表します。特徴としては次の点が挙げられます。まず、データは0、1、2、…の整数値をとる離散分布であること。次に、平均と分散が同じ λで決まること。さらに、λ が小さいと偏りが強く、λ が大きいと正規分布に近づく近似が使える点です。実務的には、1時間あたりの電話件数や1日あたりの事故件数、定められた区間で観測されるイベントの回数など、発生の画一性が保たれる場面で適用します。

Poisson は「発生の機会が均等で独立している」という前提のもと機能します。もし“連続的”な量を扱う場合や、イベント間の独立性が崩れる場合には別の分布を考える必要があります。こうした前提を意識することで、データがどの分布に近いかを判断する力が養われます。現場でのコツは、まずデータの型（離散か連続か）と、観測期間・空間の設定が適切かどうかを確認することです。

対数正規分布とは何か

対数正規分布は、ある量 X が正の値を取り、対数をとると正規分布になるという性質を持つモデルです。直感的には、掛け算の影響が積み重なるときの分布として理解すると分かりやすいです。なぜなら、複数の独立した要因が比例的に増減することで最終的な量が決まる場面が多く、これを対数空間で見ると正規分布になることが多いからです。対数正規分布の特徴は、連続的で0 より大きい値をとること、右に長い尾が伸びることです。これにより、大きな値がまれに観測される一方で、0 に近い値は現れにくいという偏りを持ちます。現実世界の例としては個人の収入分布、企業の売上や製品のサイズ分布など、掛け算的な要因が重なる場面でよく現れます。パラメータ μ と σ は、対数変換した際の正規分布の平均と標準偏差に相当します。

具体的には X = exp(μ + σZ) という形で Z が標準正規分布に従うとき、X は対数正規分布に従います。μ は対数空間の位置、σ は分散の大きさを決める尺度です。対数正規分布は長い尾を持つことが特徴であり、外れ値の影響を受けやすい側面があります。データのばらつきが大きく、利益やサイズが大きく変動するケースを扱うときに強力なモデルとなります。データを対数に取ってから分析すると、正規分布の手法が使いやすくなる点も覚えておくと良いでしょう。

主要な違いと使い分けのコツ

二つの分布には大きな違いがあります。まず離散か連続かという基本の性質が異なります。ポアソン分布は回数を数える「離散的」なデータに適しており、対数正規分布は量の大きさを連続的に測る「連続的」なデータに適します。次に意味する場面が違います。ポアソンは「一定時間内に起こる出来事の回数」をモデル化するのに適し、対数正規は「積み重なる要因の結果としてのサイズや金額」を扱うのに向いています。パラメータの意味も異なり、ポアソンの λ は平均発生数であり、分散も λ に等しくなります。一方、対数正規分布の μ と σ は対数空間の位置とばらつきを表し、平均は exp(μ + σ²/2)、分散は (exp(σ²) - 1) exp(2μ + σ²) などの式で決まります。実務での使い分けのコツは、データの「性質」を最初に確認することです。もしデータが0,1,2...と離散的な回数を数える形なら Poisson を第一候補にします。反対に、サイズや金額のように0 より大きく、掛け算の影響が積み重なる場面では対数正規分布を考えるべきです。加えて、λ が大きくなると Poisson が正規分布に近づく近似を用いることができる点も覚えておくと便利です。最後に、データの尾部の様子にも注意しましょう。対数正規分布は長い尾を持ち、外れ値の影響を受けやすい一方、ポアソン分布は尾部が比較的短く、極端な値が出にくい性質があります。

実際の使い分けの実践ガイド

現場で分布を選ぶときの実践的なヒントをまとめます。まずデータの性質を見てください。整数の回数なら Poisson、連続的な数量で掛け算的な要因が関与するなら対数正規を候補にします。次にサンプルサイズとばらつきの程度を確認します。λ が小さいと Poisson は0や1が突出しやすく、データが強く右に偏ることがあります。λ が大きくなると近似的に正規分布に近づくため、統計的推定で正規分布の手法を使える場面が増えます。対数正規の場合、0 より大きい連続値が対象となり、右尾の長さはデータのばらつきの大きさと深く関係します。分析の前段として、データを対数変換して分布を観察すると判断が楽になります。ここまで押さえると、データに合わせてモデルを選ぶことが自然になり、推定や仮説検定の解釈がずいぶん楽になります。最後に、表や図を使って「どちらの分布がデータに適しているか」を直感的に示すことが重要です。下の表も参考にしてください。

特徴	ポアソン分布	対数正規分布
種類	離散	連続
データの例	電話件数 など	所得 サイズ など
パラメータ	λ	μ と σ
平均	λ
分散	λ
形	右に偏りやすく、λ が小さいと0寄り	右尾が長く、0より大きい値

この表を頭の中に置いておくだけでも、データを見たときの第一印象が変わります。最終的には複数のデータセットで適合度を比較し、実務上の目的（予測、説明、意思決定）に最も適したモデルを選択します。統計は「正解を出すゲーム」ではなく、「現実を正しく近づける道具」です。どちらの分布を使うべきかを迷ったときは、まずデータの性質を確認し、次に直感と数式の両方で検証してみてください。

ピックアップ解説

友達と数学の話をしているとき、友人がポアソン分布の式を眺めながらこう言いました。『λが大きいときに正規分布に近づくって、なんだか難しそうだね。でも身の回りの現象を思い出すと、確かに回数は日によって揺れるし、たまにすごく多い日があるなあって気づくんだ。』私は笑って返しました。『そうそう、ポアソンは回数の世界、対数正規はサイズやお金の世界、使い分けは現象の性質を見抜く力だよ』と。話はさらに続き、対数正規分布の尾の長さの話題に移ると、友人は‘大きな値が珍しくても現れうるんだね’と納得していました。日常の何気ないデータにも、こうした分布の観点を当てはめると新しい発見が生まれることを、二人の会話は教えてくれたのです。

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