ベルヌーイ分布と幾何分布の違いを徹底解説！中学生にもわかる確率の基礎

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はじめに

確率の世界にはさまざまな分布の考え方が登場しますが、中でもベルヌーイ分布と幾何分布はとても基本的で日常の場面にも結びつきやすいものです。ベルヌーイ分布は二値の試行を扱う分布であり、成功か失敗かの二つの結末のどちらかが起こる確率を p として表します。これに対して 幾何分布は最初の成功を得るまでの試行回数を数える分布です。つまりベルヌーイ分布は1回の結果を扱いますが、幾何分布は何回目の試行で初めて成功するかを数える道具です。日常の中にもこの考え方はたくさん登場します。


本記事ではまずベルヌーイ分布と幾何分布の基本を確認し、次に具体的な違いを表や例で整理します。最後に身近な場面でどう使えるかのヒントを紹介します。読者が中学生でも理解できるよう、専門用語をできるだけ分かりやすく解説します。


この説明を通じて、確率の世界で「試行の数を数える視点」と「結果そのものの確率」を切り分けて考える力を身につけてほしいです。

ベルヌーイ分布とは何か

ベルヌーイ分布は 1 回の試行で結果が 1 か 0 のどちらかになる二値の分布です。ここでの 1 を「成功」、0 を「失敗」と呼ぶことが多く、成功の確率を p とします。つまり確率分布は P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 − p という形です。期待値は E[X] = p、分散は Var(X) = p(1 − p) となります。独立した試行を続けてもそれぞれの試行はベルヌーイ分布に従い、複数回の試行をまとめて扱うときは別の分布に変換して考えることが多いのが特徴です。


ベルヌーイ分布は、コインを 1 回投げて表が出るか裏が出るかのような場面にぴったり合うモデルです。コインの公正さを p に置き換えると、表が出る確率を p として、表か裏かの2択を確率論的に扱うことができます。


日常の例としては、テストで正解になるかどうか、機械が部品を正常に出すかどうか、メールが迷惑メールかどうかなど、結果が二択の場面を想像すると理解しやすいです。

幾何分布とは何か

幾何分布は 独立したベルヌーイ試行を繰り返し、最初に成功が現れるまでの回数を数える分布です。パラメータは繁栄の確率 p で、取りうる値は 1, 2, 3, … です。つまり Y が幾何分布に従うとき P(Y = k) = (1 − p)^(k − 1) p です。期待値は E[Y] = 1/p、分散は Var(Y) = (1 − p)/p^2 となります。幾何分布には「memoryless」と呼ばれる特徴があり、現在の状態が過去の経過と無関係に次の状態に影響を与え続けます。


実生活の例としては、ゲームで最初のボーナスを得るまでの挑戦回数、サポート窓口で最初に解決されるまでの待ち時間、あるいは掃除機（関連記事：アマゾンの【コードレス　掃除機】のセール情報まとめ！【毎日更新中】）が部屋を片付けるために必要な回数などを想像するとイメージがつかみやすいです。

ベルヌーイ分布と幾何分布の違い

二つの分布の違いを整理すると、まず 対象となる量が異なることが挙げられます。ベルヌーイ分布は 単一の試行結果を扱い、結果は 0 か 1 の二値です。一方、幾何分布は 初めての成功が何回目の試行で来るかの回数を数えます。次に 分布の形と期待値の観点が異なります。ベルヌーイ分布の期待値は p、分散は p(1 − p) であり、幾何分布の期待値は 1/p、分散は (1 − p)/p^2 です。


両者は密接に関連しています。たとえば独立なベルヌーイ試行を繰り返し、最初の成功までの回数を数えるとき、その回数 Y は幾何分布に従います。一方で各回の試行をまとめて 1 回で結果の有無を扱うと ベルヌーイ分布を複数回用いたモデルになります。


この違いを具体的な場面で理解すると、確率の考え方が整理され、問題をどうモデル化すれば良いかが見えてきます。

生活の例と表

次の表は二つの分布の要点を簡潔に比べたものです。

特徴	ベルヌーイ分布	幾何分布
定義	1 回の試行で結果が 0 か 1	最初の成功までの試行回数
パラメータ	成功確率 p	成功確率 p
期待値	E[X] = p	E[Y] = 1/p
分散	Var(X) = p(1 − p)	Var(Y) = (1 − p)/p^2
特徴づけ	2値の確率	回数の確率分布

この表を見れば、二つの分布がどう使い分けられるかが一目で分かります。日常の小さな選択を確率の視点で整理すると、何を意味しているのかが明確になります。例えばコインを投げる場面ではベルヌーイ分布、最初に表が出るまでの挑戦回数を知りたい場面では幾何分布を使うと考えるとスッと理解できます。

まとめ

本記事ではベルヌーイ分布と幾何分布の基本を確認し、それぞれの違いを具体的な表と例で整理しました。ベルヌーイ分布は二値の結果を扱い、パラメータは成功確率 p、幾何分布は初めての成功までの回数を扱い、同じくパラメータは pです。二つの分布は互いに関連していますが、対象となる量と分析の仕方が異なる点が大きな違いです。日常の身近な場面を思い浮かべながら、それぞれの意味をしっかり押さえると確率の理解が深まります。次に別の分布や条件付き確率へ進むときにも、今回の整理が役立つはずです。

ピックアップ解説

今日は幾何分布について友達とカフェで雑談する場面を思い浮かべてみよう。ゲームの挑戦が続くとき、何回目の挑戦で初めて成功するかという話はよくある。誰でも経験する待ち時間は、数学的には幾何分布で表現できます。パラメータ p が高いほど、初回で成功する確率が高く、期待値の 1/p は小さくなります。友人が『待つのって意外と楽しいのかも』と言うとき、実はこの分布の“性格”が現実世界の不確実さの感じ方に影響しているのだと気づくかもしれません。日常の中の小さな“待ち時間”が、確率という道具を使ってどう読み解けるかを一緒に考えると、数学が身近なものとして感じられます。

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