ホモグラフィ変換と射影変換の違いをわかりやすく解説！似ているけど何が違うの？

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ホモグラフィ変換と射影変換の基本の違いを理解する

ここでは、ホモグラフィ変換と射影変換の2つの用語の意味と、実際に画像処理でどんなふうに使われるかを、中学生でも分かる言葉で丁寧に説明します。まず大切なのは、どちらも「平面の絵を別の平面へ写す数式の仕組み」だという点です。現実の写真（関連記事：写真ACを三ヵ月やったリアルな感想【写真を投稿するだけで簡単副収入】）を見てみると、同じ物体が別の角度から写ると形が変わって見えます。この時、物体の点と点の対応関係を数字で表すと、3×3の行列を使った変換で表現できることが多いのです。

このとき「射影変換」とは、2次元の平面同士の間の写像を指す、数学的な概念のことです。一方で「ホモグラフィ変換」は、物体が3次元の世界にあるときの視点の違いによって生じる「平面と平面の間の写像」を意味します。つまり、現実のカメラで撮影したときの2つの画像間で、同一の平面上の点がどう対応づけられるかを表すときにホモグラフィ変換が使われることが多いのです。ここまでを頭に置くと、次からの例や図を見るときに少し楽になります。

次に、写像の仕組みをざっくり図解してみましょう。カメラの内部の光の通り道を考えるとき、3点以上の対応点があれば、3×3の行列を使って、画像上の座標を別の画像上の座標へ「変換」できます。これを実現する数式は少し難しく見えますが、原理はとてもシンプルです。結論としては、「ホモグラフィ変換」と「射影変換」は、ほとんど似た役割を果たすが、用語が指す意味の細かなニュアンスが異なる場合がある、ということです。

平面同士の写像を考えるときには射影変換、三次元空間の視点を含む現象を扱うときにはホモグラフィ変換という捉え方が基本です。具体的な使いどころとしては、写真をつなぐパノラマ作成や、貼り合わせたポスターの歪みを補正する作業に関係します。学習のコツとしては、まず「直線は直線のまま写る」という性質を覚え、さらに対応点を3つ以上見つけることが大切です。

このような考え方を頭に入れておくと、実際のプログラムやツールでの作業がずっと楽になります。

実生活での直感的な違いをつかむコツ

ここで覚えておくと良いポイントは、平面同士を結ぶ写像を考えるときには射影変換、3次元空間の視点変換を意識して平面の写像を扱うときにはホモグラフィ変換、という分け方が、概念としては分かりやすいということです。写真のパノラマ作成や、風景写真のゆがみを直すときには、実際にはホモグラフィ変換を使いますが、数式の世界では射影変換として扱われることも少なくありません。さらに重要なのは、どちらの変換も「直線は直線のまま写る」という性質を持つ点です。直線が曲がって見えるのは、視点の動きやレンズの歪み、または学習データの不足など、別の要因が絡んでいることが多いのです。

ピックアップ解説

ある日、中学の美術部で先生が“鏡を使って物の形を正しく写すにはどうするか”という実験をしていました。紙の上の猫を写すとき、写っている猫の足先の位置が、鏡の反対側では違う場所に見えます。友だちと話していて気づいたのは、ホモグラフィ変換は“猫の足元の位置を、別の場所にある猫の同じ足元へ”正しく移すためのルールだということ。射影変換は“その移動の法則を、2次元の紙の上だけの世界で完結させる公式”のようなもの。結局、現実の写真を組み合わせる時には、3Dの視点を考慮して平面をつなぐホモグラフィ変換が活躍する場面が多い。日常の会話に例えるなら、“写真の見え方を整えるための”案内役のようなものだと思います。

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