巡回セールスマン問題 最短経路問題 違いを徹底解説！中学生にも分かる3つのポイント

---

巡回セールスマン問題と最短経路問題の違いを押さえる基本の考え方

巡回セールスマン問題（TSP）と最短経路問題（SP）の違いを理解するには、まず“何を最短化するか”を意識するのがコツです。巡回セールスマン問題は、与えられた都市の集合をすべて訪問し、出発点へ戻る1つの巡回路を作る問題です。このときの目標は“訪問距離の総和”を最小にすることです。つまり、旅のゴールは“全ての街を最短で回る1つのルート”を探すことにあり、町と町の間の距離がどう組み合わさるかが鍵になります。

一方で最短経路問題は、2点間の最短距離を求める問題です。旅の目的は、出発点と終点を結ぶ道をできるだけ短くすることだけであり、途中で訪問する都市の数は問われません。単純に言えば、TSPは「全員を連れて回るパズル」、SPは「2点間を結ぶ最短の道」を探す道案内のようなものです。

この違いが難しさにも直結します。TSPは訪問順序の組み合わせが膨大になるため、全探索は現実的ではなく、近似アルゴリズムやヒューリスティックが重要な役割を果たします。対して最短経路問題は、グラフの性質によってはダイクストラ法などの効率的な解法が使え、正の辺だけで成り立つ場合は特に素早く答えを出せます。これらの要素の差は、数学の教科書だけでなく、実務の設計・開発にも直結する大きなポイントです。

特徴	TSP	最短経路問題
目的	全都市を訪問して元の都市へ戻る	2点間の最短経路を求める
制約	各都市をちょうど1回ずつ訪問	出発点と終点を決め、最短経路のみを探索
計算難易度	NP難・近似が主流	実用的アルゴリズム多数、比較的解が得やすい

現実世界の例での違い

現実世界の例で考えると、配送の現場ではTSP的な発想が役立つ場面と、SP的な発想が効く場面が混在します。例えば複数の配達先を一日で全部回る場合、ただ近い順に回るだけだと距離が長くなってしまうことが多く、全体を見て回る順序を決める最適化が必要になります。これがの考え方に近い部分です。一方、出発地と目的地を固定して、その間の最短ルートを探す場合は最短経路問題のアルゴリズムが直感的に有効です。道路状況や信号待ち、工事などの実世界の条件を反映させると、2点間の最短距離だけを見ていても最適解には辿り着かないことがあります。こうした要因をモデル化して組み合わせることで、実 worldwide のルート設計はより現実的になります。

要は、TSPとSPは同じ「距離を最適化する」目的を持ちますが、何を最短化するのか、どんな制約を課すのか、そしてどんなアルゴリズムを使うのかという点で大きく異なるのです。実務ではこの違いを理解して、問題を適切に切り分け、現実の制約を踏まえた解法を選ぶことが重要になります。

ピックアップ解説

「巡回セールスマン問題」を友だちと話しているとき、彼は“最短距離を探すだけなら、出発地と到着地の2点間を結ぶ道を見つければいいでしょ？”と軽く思い込んでいました。そこで私は雑談風にこんな説明をしました。まずは“全ての街を一度ずつ訪問して、元の場所へ戻る”というルールがある旅のパズルです。街の順番をどう回るかの組み合わせは数が膨大で、最短の順序を見つけるのは難しい。そこで近似アルゴリズムを使ったり、良い解を“だいたいこれくらい”と推定したりします。
一方、は2点間の距離を最小化するルール。途中で全ての街を回る必要はないし、出発地と目的地さえ決まっていれば良い。地図アプリの経路案内を思い出すと分かりやすいですが、最短距離を割り出す技術として古くから使われるアルゴリズムがたくさんあります。これを友達に話すと、「じゃあ実務ではどう使い分けるの？」と聞かれ、私はこう答えました。現実のルート設計では、まず全体の最適性を考えるTSP的な発想を取り入れつつ、道路状況や時間帯といった現実の制約をSP的な局所解で詰めていく、という切り分け戦略が重要になるのです。こうした雑談の中で、数学の問題が実生活の効率につながる仕組みを感じることができ、数学が身近に感じられる瞬間でした。

---