ベータ分布と三角分布の違いを徹底解説 中学生にも分かる基礎から実務的使い方まで

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ベータ分布と三角分布の基本的な違い

ここではまず「ベータ分布」と「三角分布」がどんなものかを、違いの観点から分けて説明します。


ベータ分布は0から1の区間に定義され、2つの形状パラメータαとβで形が決まります。

この分布は連続確率分布の代表格で、割合や確率のような0と1の間の値を表すときによく使われます。

直感的にはデータが0から1の範囲に“どのくらい”集中しているかを表す滑らかな曲線を描き、αとβを変えると山の高さが変わり、U字型や逆U字型やほぼ直線のような形にもなります。

ベータ分布はベイズ統計で先行情報を組み込む際の事前分布としても重要です。

さらに重要なのは平均値と分散の式がαとβだけに依存する点です。平均はα/(α+β)、分散はαβ/[(α+β)^2(α+β+1)]となり、これを使って事前情報の強さを直感的に決められます。

一方の三角分布は[a,b]という区間とモードcを用いて定義され、pdfは区間の中で段階的に直線的に増加し、モードを頂点として再度減少します。

つまり山の形が「とがった三角の形」で、説明の仕方がシンプルです。

パラメータはa,b,cで、aは下限、bは上限、cは最頻値です。

使い方としてはデータが厳密には未知の平均値を指すとき、またはシミュレーションで最も出やすい値を仮定したいときに役立ちます。

ただしベータ分布のように0と1の連続的な確率を自然に表現するのには適していません。

したがって区間が決まっておりモードがひとつ決まっている状況で、簡素なモデルが欲しいときに選ばれます。

形状とパラメータの違いと実用的な比較

ここでは形状の違いと、選択の目安をもう少し具体的に見ていきます。

ベータ分布はαとβの組み合わせで柔軟に形を変えられる点が大きな魅力です。

強く偏った分布から均等な分布まで作れるため、データがどの程度対称性を持つかを反映させやすいのです。

一方三角分布は区間とモードだけで決まるために、調整の自由度は低いものの、計算が単純で直感的な解釈がしやすいという長所があります。

例えばシミュレーションを回すとき、最頻値を仮定しておくと結果が安定しやすく、トライアンドエラーで最適化を進める際に便利です。

分布を選ぶときの実務的なコツは「データの範囲とモードの有無を確認する」ことです。0と1のような比率を扱うならベータを第一候補に、区間内の代表値を仮定するなら三角分布を候補にします。

e>特徴ベータ分布三角分布定義域[0,1][a,b]パラメータα, βa, b, c形状の柔軟性高い低い用途の例ベイズの事前分布としての利用、割合の推定初期値の推定、シミュレーションの単純モデル平均と分散平均 α/(α+β) 分散 αβ/[(α+β)^2 (α+β+1)]平均 (a+b+c)/3 分散 (a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)/18

ピックアップ解説

友達Aと友達Bの雑談風にベータ分布を解説する小ネタです。Aは「ベータ分布って0から1の割合を表すんだよね」と言い、Bは「そう、αとβで形を決めるパラメータなんだ」と返します。二人は実際のデータの例を出して試します。例えばクラスの出席率こそ0から1の値、そのピークの位置をどう決めるかが鍵です。αが大きいと右に寄り、βが大きいと左に寄ります。中学生の僕たちにも分かるよう、直感的なイメージと少しの式を組み合わせて、ベータ分布の柔軟さと使いどころを学んでいきます。

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