射影と正射影の違いを徹底解説！中学生にも分かる図解つきガイド

---

射影と正射影の基本理解

射影とは、ある空間 V の中の要素を、別の部分空間 W に"映す"操作のことです。ここでの鍵は P が P^2 = P を満たすこと。つまり、1度投影してさらに投影しても結果が変わらない性質を持つのです。射影は必ずしも"距離の最小化"を意識したものではなく、V を分解する際に選ぶ補空間 U によって形が決まります。言い換えると、"どのようにして V を W と U の直和として分けるか"、その選び方により射影が決まるのです。これを頭の中で描くと、影が落ちる場所を自由に変えられるような感覚になります。


例を挙げると分かりやすい。2次元の平面 R^2 を考え、射影を「x軸への投影」としてみましょう。点 (x, y) を (x, 0) に映すと、x軸上の点が得られます。これも射影の一例です。別の例として、線分や平面へ投影する場合、投影先の部分空間 W をどこに設定するかで結果が変わります。


正射影は、射影の特別なケースです。正射影は内積が定義されている空間で、距離の最小化を前提とした投影です。つまり、ある部分空間 W に対して、V の任意の要素 v は W の元と W の直交補空間 W⊥ の和として一意に分解でき、その W 成分が正射影の像になります。正射影を表す演算子 P は、自分自身と等しい（対称）ことが特徴です。


この二つの考え方の違いを一言でいうと、射影は「どの補空間を選ぶかで形が決まる一般的な投影」、正射影は「内積を使って距離を最小化する厳密な投影」ということになります。正射影はベクトル空間の性質をきちんと反映するため、幾何と代数の橋渡し的な役割を果たします。

違いを生む数学的背景

射影は P^2 = P を満たす任意の線形写像です。これは、V を W と U の直和 V = W ⊕ U の形で分解し、要素 v を V の W 成分だけ取り出す操作として解釈できます。補空間 U の選び方次第で、同じ W に対しても複数の射影が作れます。この自由度が射影の特徴です。たとえば、R^2 で x 軸へ投影する射影と、斜め方向へ投影する射影は、補空間の選び方が違うだけで同じように P^2 = P を満たします。


一方で正射影は、内積が定義されている空間での射影の特別なものです。W が内積空間の部分空間である場合、V の任意の要素 v は一意に v = w + w⊥ と分解でき、W 成分 w が正射影 P(v) となります。正射影の重要な性質として P は自己共役（P = P^*) かつ P^2 = P、そして Ker(P) = W⊥、Im(P) = W が挙げられます。これにより、正射影は最も「自然な」投影として距離を保つ性質を持つのです。


抽象的な話をもう少し具体化すると、射影は“どの補空間を選ぶか”で形が決まる自由度があり、正射影は“内積”という追加の情報があるときの唯一無二の投影です。中学生にもわかりやすく言えば、射影は「影を落とす場所を自分で決められる道具」、正射影は「影を落とすとき、最短距離になるよう自然に決まる道具」と考えるとイメージしやすいです。

具体的な違いを表で確認

項目	射影	正射影
定義の性質	V を任意の補空間の直和として分解し、W 成分へ写す	内積が定義された空間での W への投影、最小距離を保つ
線形性とべき性	P^2 = P は成立するが、P は自己共役でなくても良い	P^2 = P かつ P = P^*（自己共役）
核と像	像は W、核は U	像は W、核は W⊥（直交補空間）
求め方の安定性	補空間の選択次第で結果が変わることがある	内積が定義される場合、より自然で安定的な投影

この違いを日常的な例に置き換えると、射影は「影をどこに落とすかを自分で選べる自由なカメラ」、正射影は「照明と影の関係が最適化される自然なライティング」です。正射影は特にデータの最近傍点を求めるときや、物理的な距離を最小化したいときに重要な役割を果たします。なお、実際の計算では 正射影の式は内積を使って定義され、特定のサブスペースに対して P を求める手順が決まっています。

具体的な例をもう少し見てみよう

1) 射影の例: R^2 の x 軸へ投影する場合、P(x, y) = (x, 0) となり、これを2回適用しても P(P(x, y)) = P(x, 0) = (x, 0) で元と同じになります。

2) 正射影の例: 同じく x 軸へ正射影する場合でも、内積を用いて直交補空間を選ぶと、同じ結果になりますが、y 軸へ投影する別の正射影も同様に定義されます。ここで重要なのは“同じ subspace に対して、正射影は一意である”という性質です。


最後に、射影と正射影の違いをしっかり押さえておくと、線形代数のさまざまな応用場面で混乱せず済みます。覚えるべき要点は次のとおりです。

・射影は P^2 = P、補空間の選び方で結果が変わることがある。

・正射影は内積が関与し、自己共役で P^2 = P、核は W⊥、像は W。

・実務では正射影の方が距離・直交性の観点から扱いやすい場合が多い。

用語の整理と学習のヒント

覚えるべきキーワードは 射影、正射影、内積、補空間、直交補空間、自己共役、P^2 = P の性質です。まずは日常の影の感覚で“どこに影を落とすのか”を意識し、そこから次第に「直交補空間」という抽象的な概念へと橋渡ししていくと理解が深まります。練習として、身の回りの図形を使い、投影後の像がどうなるかを紙に書き出してみましょう。図を書き、具体的な数値を当てはめると、射影と正射影の違いが目に見えてきます。


この章を読んで、射影の一般性と 正射影の特別性 の両方を拾い上げられるようになれば、数学の新しい章へ進む準備が整います。

まとめと次のステップ

射影と正射影は、同じ投影という現象を違う観点から見る考え方です。射影は補空間の選び方に依存する自由度があり、正射影は内積という情報を使って最も自然な投影を提供します。中学生にも分かるように、まずは具体的な例と直感を積み重ね、次に代数的な性質（P^2 = P、P = P^*、Kernel と Image の関係）へと段階的に理解を深めていきましょう。最後に、理解を深めるには自分で手を動かして計算してみるのが一番です。これからも練習を重ね、射影と正射影の違いを自分の言葉で説明できるようにしましょう。

ピックアップ解説

正射影について友達と雑談する形で深掘りしてみると面白いです。友達Aが「正射影ってなんでそんなに大事なの？」と聞くと、友達Bは「それは距離を最小にする性質のおかげで、データ解析や物理の問題で“最も自然な近さ”を見つける手がかりになるからだよ」と答えます。正射影は単なる手順ではなく、内積という意味づけがあるからこそ、計算の安定性と幾何的解釈の両方を提供してくれるのです。もし授業でベクトルの距離の話題が出たら、正射影の話を思い出して、W への投影がどうして最短距離なのか、直感と数式の両方から説明してみると理解が深まります。

---